กฎวิทยาศาสตร์สี่ข้อที่สำคัญที่สุด

เหมือนวิญญาณนักแปลเข้าสิง เมื่อวานนี้อ่านบทความ ใน kuro5hin.org ที่สรุปกฎที่สำคัญต่างๆ ในวิทยาศาสตร์ แบบเข้าใจง่ายดี ก็เลยลองแปลเป็นไทยดู ข้าพเจ้าไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์ ถ้าใช้ศัพท์อะไรผิดเพี้ยนไป ก็ต้องขออภัยต่อท่านผู้รู้ทั้งหลายด้วย 😉

กฎเหล่านี้น่าสนใจเพราะแสดงให้เห็นว่า ธรรมชาติให้มนุษย์มีศักยภาพพอที่จะเข้าใจอะไรๆ บางอย่างได้ แต่ไม่พอที่จะเข้าใจความจริงที่เป็นภววิสัย (objective reality) ได้โดยสมบูรณ์ แต่การที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ขอบเขตของความเข้าใจเราอยู่ตรงไหนบ้างนั้น ก็นับเป็นสิ่งที่แสดงถึงศักยภาพของสมองมนุษย์ได้อย่างดีเยี่ยม ดังนั้นข้อจำกัดที่พิสูจน์โดยกฎเหล่านี้ ไม่ใช่เป็นเรืองน่าผิดหวัง แต่เป็นเรื่องน่าตื่นเต้นต่างหาก ความรู้ว่าเรารู้อะไรไม่ได้ ก็ยังดีกว่าความไม่รู้ว่าขีดจำกัดเราอยู่ตรงไหน

สัมพัทธภาพ, ความไม่แน่นอน, ความไม่สมบูรณ์, และการตัดสินไม่ได้
(Relativity, Uncertainty, Incompleteness, and Undecidability)

กฎเหล่านี้ศึกษาโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์, เวอร์เนอร์ ไฮเซ็นเบิร์ก, เคิร์ท โกเดล, และอลัน ทูริ่ง ตามลำดับ บทความนี้เป็นคำอธิบายแบบง่ายๆ ปราศจากศัพท์เทคนิคใดๆ แต่พยายามชี้ให้เห็นอย่างน้อยไอเดียหลักของกฎแต่ละข้อ

สัมพัทธภาพ

ส่วนนิ้อธิบายหลักการทั่วไปเรื่องสัมพัทธภาพของการเคลื่อนไหว ซึ่งเก่าแก่กว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ และพยายามอธิบายหนึ่งในกฎธรรมชาติที่ไอน์สไตน์ค้นพบ

กฎสัมพัทธภาพบอกว่าไม่มีจุดสังเกตใดๆ ที่มีอภิสิทธิ์และไม่ลำเอียง (privileged, “objective” viewpoint) สำหรับการสังเกตบางอย่าง ลองจินตนาการดูว่ามีเรือสองลำ ลอยอยู่กลางทะเลในคืนอันมืดมิด แต่ละลำมีไฟส่องทางบนยอดเสาเรือใบ คืนนั้นมืดมาก มืดจนเส้นขอบฟ้าหรือคลื่นในน้ำไม่สามารถบอกเราได้ว่า เรือทั้งสองกำลังแล่นไปทางไหน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ กัปตันเรือทั้งสองคนก็พูดได้เหมือนกันว่า เรือของเขาเป็นลำที่ “อยู่นิ่ง” เรืออีกลำต่างหากที่แล่นอยู่

เหมือนวิญญาณนักแปลเข้าสิง เมื่อวานนี้อ่านบทความ ใน kuro5hin.org ที่สรุปกฎที่สำคัญต่างๆ ในวิทยาศาสตร์ แบบเข้าใจง่ายดี ก็เลยลองแปลเป็นไทยดู ข้าพเจ้าไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์ ถ้าใช้ศัพท์อะไรผิดเพี้ยนไป ก็ต้องขออภัยต่อท่านผู้รู้ทั้งหลายด้วย 😉

กฎเหล่านี้น่าสนใจเพราะแสดงให้เห็นว่า ธรรมชาติให้มนุษย์มีศักยภาพพอที่จะเข้าใจอะไรๆ บางอย่างได้ แต่ไม่พอที่จะเข้าใจความจริงที่เป็นภววิสัย (objective reality) ได้โดยสมบูรณ์ แต่การที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ขอบเขตของความเข้าใจเราอยู่ตรงไหนบ้างนั้น ก็นับเป็นสิ่งที่แสดงถึงศักยภาพของสมองมนุษย์ได้อย่างดีเยี่ยม ดังนั้นข้อจำกัดที่พิสูจน์โดยกฎเหล่านี้ ไม่ใช่เป็นเรืองน่าผิดหวัง แต่เป็นเรื่องน่าตื่นเต้นต่างหาก ความรู้ว่าเรารู้อะไรไม่ได้ ก็ยังดีกว่าความไม่รู้ว่าขีดจำกัดเราอยู่ตรงไหน

สัมพัทธภาพ, ความไม่แน่นอน, ความไม่สมบูรณ์, และการตัดสินไม่ได้
(Relativity, Uncertainty, Incompleteness, and Undecidability)

กฎเหล่านี้ศึกษาโดยอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์, เวอร์เนอร์ ไฮเซ็นเบิร์ก, เคิร์ท โกเดล, และอลัน ทูริ่ง ตามลำดับ บทความนี้เป็นคำอธิบายแบบง่ายๆ ปราศจากศัพท์เทคนิคใดๆ แต่พยายามชี้ให้เห็นอย่างน้อยไอเดียหลักของกฎแต่ละข้อ

สัมพัทธภาพ

ส่วนนิ้อธิบายหลักการทั่วไปเรื่องสัมพัทธภาพของการเคลื่อนไหว ซึ่งเก่าแก่กว่าทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ และพยายามอธิบายหนึ่งในกฎธรรมชาติที่ไอน์สไตน์ค้นพบ

กฎสัมพัทธภาพบอกว่าไม่มีจุดสังเกตใดๆ ที่มีอภิสิทธิ์และไม่ลำเอียง (privileged, “objective” viewpoint) สำหรับการสังเกตบางอย่าง ลองจินตนาการดูว่ามีเรือสองลำ ลอยอยู่กลางทะเลในคืนอันมืดมิด แต่ละลำมีไฟส่องทางบนยอดเสาเรือใบ คืนนั้นมืดมาก มืดจนเส้นขอบฟ้าหรือคลื่นในน้ำไม่สามารถบอกเราได้ว่า เรือทั้งสองกำลังแล่นไปทางไหน ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ กัปตันเรือทั้งสองคนก็พูดได้เหมือนกันว่า เรือของเขาเป็นลำที่ “อยู่นิ่ง” เรืออีกลำต่างหากที่แล่นอยู่

ในทำนองเดียวกัน ลองตั้งคำถามว่า พระอาทิตย์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าไหร่? ก่อนที่เราจะตอบได้ เราต้องคิดว่าจะใช้อะไรเป็นตำแหน่งอ้างอิง เราสามารถวัดความเร็วของพระอาทิตย์เทียบกับวัตถุที่อยู่ไกลโพ้น เช่น ดาวฤกษ์อีกดวง จุดศูนย์กลางทางช้างเผือก หรือจุดศูนย์กลางกลุ่มดาวที่ระบบสุริยะอยู่ แต่ไม่ว่าเราจะวัดจากจุดไหน ไม่มีทางที่เราจะเรียกความเร็วนั้นว่าเป็น “ความเร็วสัมบูรณ์ (absolute speed) ของพระอาทิตย์” ได้ จริงอยู่ เราสามารถวัดความเร็วของพระอาทิตย์เทียบกับอวกาศรอบๆ ดวงดาว เพราะอวกาศไม่ว่างเปล่าเลยทีเดียว หากเต็มไปด้วยอนุภาคต่างๆ แต่ปัญหาคืออนุภาคเหล่านี้ก็กำลังเคลื่อนที่เหมือนกัน ดังนั้นไม่ว่าเราจะพยายามวัดความเร็วสัมบูรณ์ยังไง เราก็ไม่มีทางทำได้ เพราะไม่ว่าจะวัดจากจุดใด ก็มีตำแหน่งอ้างอิงอื่นๆ อีกที่ให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ความเร็วเป็นค่าสัมพัทธ์นั่นเอง

ทีนี้ถ้าทุกสิ่งทุกอย่างเคลื่อนไหวในลักษณะสัมพัทธ์ซึ่งกันและกัน ก็หมายความว่า ตำแหน่ง ของสิ่งต่างๆ ย่อมเป็นค่าสัมพัทธ์ด้วย จักรวาลที่เราอยู่นั้น ไม่มี “ศูนย์กลาง” ที่มีลักษณะพิเศษใด และถึงแม้ว่ามี การที่เราจะเรียกว่ามีอะไรอยู่ “ข้างบน” “ข้างล่าง” “ข้างซ้าย” หรือ “ข้างขวา” ก็เป็นการทำตามอำเภอใจเราเอง ในอวกาศ คำเหล่านี้ไม่มีความหมาย ตำแหน่งและทิศทางเป็นค่าสัมพัทธ์ ดังนั้นถ้าเราจะวัดค่าเหล่านี้ เราต้องเลือกตำแหน่งอ้างอิงก่อน

เอาละ ตอนนี้เรื่องจะเริ่มซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย ลองคิดดูซักนิดว่า เราวัดเวลากันยังไง? เราวัดมันด้วยการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งและความเร็ว: เวลาที่ของตกสู่พื้น, เวลาที่แสงใช้ในการเดินทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ฯลฯ ดังนั้นผลลัพธ์โดยตรงของความจริงที่ว่า ตำแหน่งและทิศทางเป็นค่าสัมพัทธ์นั้นคือ เวลาก็เป็นค่าสัมพัทธ์ด้วย ไม่มี “เดี๋ยวนี้” ที่ใช้ได้กับทั้งจักรวาลในขณะเดียวกัน การทดลองที่นิยมทำซ้ำกันมากวิธีหนึ่งคือ: เอานาฬิกาสองเรือนมาตั้งเวลาให้ตรงกัน แล้วเอานาฬิกาเรือนหนึ่งใส่เครื่องบินที่ไปบินวนรอบโลก อีกเรือนหนึ่งอยู่กับที่ เมื่อเอานาฬิกาสองเรือนนี้มาเทียบกันอีกที เราจะเห็นว่า นาฬิกาสองเรือนแสดงเวลาไม่เท่ากัน ถ้าเราปล่อยให้เวลาผ่านไปนานขึ้นและให้เครื่องบินบินเร็วขึ้น เราก็จะได้เห็นภาพเช่นเดียวกับนักบินอวกาศที่กลับมาจากการเดินทางไกล คือตัวเองแก่ลงไม่กี่ปี แต่เวลาบนโลกผ่านไปเป็นร้อยๆ ปี แม้เรื่องค่าสัมพัทธ์ของการเคลื่อนไหว จะเป็นสัจธรรมที่มนุษย์เข้าใจมาช้านานก็ตาม อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เป็นคนแรกที่ชี้ให้เห็นว่า แม้ความเร็วของแสงจะเป็นค่าสัมบูรณ์ เวลาเป็นค่าสัมพัทธ์

อย่าสับสนเรื่องนี้กับประเด็นเรื่องอัตตวิสัย (subjectivity) นะครับ: ในหนังเรื่องหนึ่งผมเคยได้ยินประโยคทำนองว่า “สำหรับไอน์สไตน์ ทุกอย่างเป็นค่าสัมพัทธ์หมด เช่น ครึ่งชั่วโมงที่คุณรอคนรัก กับครึ่งชั่วโมงที่คุณนั่งรอรถไฟ มันไม่เหมือนกัน” นี่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ นี่เรียกว่าแล้วแต่คนมอง เป็นคนละเรื่องกันครับ กฎสัมพัทธภาพชี้ว่า ตำแหน่งอ้างอิงที่ต่างกันจะให้ผลการสังเกตที่ต่างกัน กฎไม่ได้บอกว่าไม่มี “ความจริงที่เป็นภววิสัย” (objective truth) อะไรเลย เพียงแค่ชี้ให้เห็นว่า ไม่มีจุดสังเกตใดๆ ที่ให้อภิสิทธิ์พิเศษกับคนมอง

ความไม่แน่นอน

กีฬาเบสบอลนั้น สามารถเล่นได้โดยใช้ลูกบอลที่มีขนาดเล็กกว่าปกติ เช่น ขนาดเท่าลูกปิงปอง หรือลูกบอลที่มีขนาดใหญ่กว่าปกติ เช่น ขนาดเท่าลูกวอลเลย์บอล มันอาจดูแปลกประหลาด แต่เราก็ยังสามารถเล่นเบสบอลได้ กฎกติกาของเบสบอลใช้ได้กับลูกบอลขนาดเล็ก กลาง และใหญ่ นอกจากนั้น เรายังสามารถคิดวิธีเล่น “มินิเบสบอล” โดยใช้ลูกบอลขนาดจิ๋วที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางเพียง 1 มิลลิเมตร พลวัตของเบสบอลก็ยังคงเหมือนเดิม นั่นคือลูกบอลถูกขว้าง วิถีของลูกบอลเป็นเส้นโค้ง และลูกบอลถูกตี

อย่างไรก็ตาม ถ้าเราลดขนาดลูกบอลลงไปเรื่อยๆ จนมันเหลือขนาดเท่าอะตอม หรืออิเล็คตรอน ภาพที่เราเห็นจะแปรเปลี่ยนไปอย่างสิ้นเชิง เราจะเห็นปรากฏการณ์ที่จะดูแปลกประหลาดมาก หากมันเกิดขึ้นในโลกปกติ สิ่งหนึ่งที่แสดงว่าโลกอนุภาคแตกต่างจากโลกปกติอย่างไร คือตัวอย่างต่อไปนี้: ถ้าเรามีโคมไฟในห้องนั่งเล่นที่มีสวิตช์ปรับระดับความสว่าง เราก็จะสามารถปรับระดับความสว่างในห้องได้ ตราบใดที่โคมไฟนั้นยังส่องแสงนวลอยู่ เราก็จะรู้สึกว่าเราสามารถค่อยๆ ปรับลดความสว่างลงได้เรื่อยๆ โดยไม่ต้องปิดไฟ จริงๆ แล้วนี่เป็นภาพลวงตา เพราะถ้าเราลองจ้องมองใกล้ๆ ที่หลอดไฟ เราจะสังเกตเห็นว่า ณ จุดหนึ่งเราจะเริ่มเห็นแสงฉายแบบ “แวบๆ” คือบางขณะมี บางทีดับ นั่นแปลว่าเราได้ก้าวพ้นขีดจำกัดของความต่อเนื่องแล้ว เรื่องแบบนี้เกิดขึ้นได้ เพราะแสงประกอบด้วยมวลสารขนาดจิ๋วที่แบ่งตัวไม่ได้อีก เรียกว่า “โฟตอน” เนื่องจากมวลสารที่แบ่งตัวไม่ได้แล้วของอนุภาคทุกประเภท มีชื่อเรียกรวมๆ กันว่า “ควอนตัม” ดังนั้นโฟตอนเลยนับเป็นควอนตัมของแสง เหตุนี้เป็นที่มาของชื่อแขนงวิทยาศาสตร์ ที่พยายามอธิบายปรากฏการณ์ในโลกของอะตอม คือ กลศาสตร์ควอนตัม (quantum mechanics)

มาย้อนไปดูเกมเบสบอลกัน ตอนนี้ลูกบอลที่เราขว้างไม่ได้เป็นยางแล้ว แต่เป็นอนุภาคที่เล็กมาก เช่น อิเล็คตรอน เจ้าอิเล็คตรอนนี้กำลังแล่นไปยังไม้ตีเบสบอลอันจิ๋ว ที่เรากำลังเล็งอยู่ ก่อนอื่นเราต้องรู้ว่าอิเล็คตรอนอยู่ตรงไหน แต่เราต้องการแสงสว่างเพื่อที่จะได้มองเห็นมัน ปัญหาอยู่ที่ว่า แสงประกอบด้วยโฟตอน ซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอิเล็คตรอน แปลว่าโฟตอนที่วิ่งชนอิเล็คตรอนจะทำให้อิเล็คตรอนนั้นเคลื่อนไปจากวิถีของมัน ดังนั้น ถ้าเราส่องโคมไฟอันจิ๋วไปที่อิเล็คตรอนเพื่อให้มองเห็น แล้วรับโฟตอนกลับมาละก็ เราก็จะทำให้วิถีของอิเล็คตรอนนั้นบิดเบือนไป เราอาจลองใช้โฟตอนอันเดียว แต่แค่นั้นก็ทำให้อิเล็คตรอนเคลื่อนไปได้แล้ว เราอาจลองทำให้เจ้าโฟตอนนีมีแรงดันอิเล็คตรอนน้อยลง ด้วยการลดโมเมนตัมของมัน [โมเมนตัมคือปริมาณการเคลื่อนที่ของวัตถุ วัดได้จากมวลคูณด้วยความเร็วในการเคลื่อนที่ – ผู้แปล] แต่ปัญหาคือ ทำอย่างนั้นเท่ากับเป็นการสร้างแสงที่มีคลื่นยาวขึ้น ซึ่งจะทำให้เราไม่สามารถมองเห็นอิเล็คตรอนได้ชัด

เวอร์เนอร์ ไฮเซ็นเบิร์ก เป็นผู้พิสูจน์ว่า ถ้าเราสร้างเครื่องมือขึ้นมาเพื่อใช้วัดตำแหน่งของอิเล็คตรอนโดยละเอียด เครื่องจะไม่สามารถบอกความเร็วของอิเล็คตรอนนั้นด้วย ถ้าเราต้องการวัดความเร็วของอิเล็คตรอน โดยไม่ขยับตำแหน่งมันละก็ เราสามารถเปลี่ยนประเภทของแสงได้ แต่แล้วเราก็จะไม่รู้ว่าอิเล็คตรอนเคลื่อนไปอยู่ตรงไหน ในโลกอนุภาค ไม่มีเครื่องมือใดๆ ที่จะบอกเราทั้งตำแหน่ง และความเร็วของอนุภาค ในขณะเดียวกันได้ จริงอยู่ว่า เราอาจลองหยุดอิเล็คตรอนด้วยการตั้งกำแพง วิธีนี้จะช่วยให้เรารู้ว่าอิเล็คตรอนอยู่ตรงไหน และรู้ว่ามันอยู่นิ่งด้วยเมื่อเทียบกับกำแพง แต่นั่นก็ไม่ช่วยให้เราคาดเดาอะไรได้ และไม่ช่วยในเกมเบสบอลของเรา เมื่อใดที่เราลงมือวัด เมื่อนั้นเราสร้างความคลาดเคลื่อนให้กับสิ่งที่เราอยากวัด กลายเป็นข้อแลกเปลี่ยนในการวัดค่าบางประการของสิ่งต่างๆ

กฎความไม่แน่นอนของไฮเซ็นเบิร์ก ลงลึกในรายละเอียดกว่านี้ เพราะชี้ให้เห็นว่าสิ่งที่ไม่แน่นอนคือ ตำแหน่งและความเร็วของอนุภาคเองด้วย ไม่ใช่แต่เฉพาะเครื่องมือเราไม่เที่ยง ดังนั้น ลักษณะหลายประการของอนุภาค จึงเป็นเพียงค่าความเป็นไปได้ต่างๆ เกี่ยวกับการวัด ไม่ใช่ค่าสัมบูรณ์ใดๆ

ความไม่สมบูรณ์

ในชีวิตประจำวันของเรา มีสถานการณ์มากมายที่เกิดขึ้นได้สองกรณีเท่านั้น เช่น ถ้าคุณต้องไปขึ้นรถไฟที่ออก 8 โมงเช้า มีความเป็นไปได้เพียงสองประการคือ คุณขึ้นรถทัน หรือไม่ทัน ถ้าคุณกดสวิตช์ไฟ ไฟก็จะติด หรือไม่ติด จำเลยอาจถูกศาลพิพากษาว่าผิด หรือไม่ผิด ฯลฯ ตรรกะแบบถูกหรือผิดแบบนี้เรียกว่า ตรรกะบูลีน (Boolean logic) ซึ่งเป็นตรรกะที่สำคัญมากในคณิตศาสตร์ หนึ่งบวกหนึ่งเป็นสอง? ถูก. สองบวกสองเป็นห้า? ผิด. ถูกหรือผิด – ไม่มีทางเลือกอื่นนอกเหนือจากนี้

แม้ปรากฎการณ์ธรรมชาติมากมายมีความเป็นไปได้หลายกรณี ตรรกะบูลีนสนใจเฉพาะปรากฏการณ์ที่มีความเป็นไปได้สองกรณีเท่านั้น: ถูกหรือผิด, ดำหรือขาว, ศูนย์หรือหนึ่ง, เปิดหรือปิด ฯลฯ นี่ไม่ใช่ข้อด้อย หากเป็นเพียงนิยามของขอบเขตหลักการ เมื่อพฤกษศาสตร์เกี่ยวกับพืช หรือธรณีวิทยาเกี่ยวกับก้อนหิน เช่นกัน ตรรกะบูลีนก็เกี่ยวกับอะไรก็ตามที่มีความเป็นไปได้เพียงสองกรณี (ทวิลักษณะ)

ตรรกะแบบใช้ญัตติ (propositional logic) ซึ่งเกี่ยวกับค่าความจริง เป็นศาสตร์อันเก่าแก่ที่ใช้การอนุมาน หรือ ตรรกะของการอนุมาน (logical deduction) เป็นเครื่องมือพื้นฐาน ถ้าเราให้ A=แมรี่ถูกฆ่าตายด้วยมีด, B=จอห์นอยู่ที่บ้านแมรี่เวลา 23:00 น., C=แมรี่ตายเวลา 23:01 น., D=จอห์นรู้จักแมรี่, E=มือของศพแมรี่กำผมเส้นหนึ่งของจอห์นไว้, F=เจอมีดที่มีเลือดของแมรี่และลายนิ้วมือของจอห์นติดอยู่ ดังนั้น A ประกอบกับ B ประกอบกับ C ประกอบกับ D ประกอบกับ E ประกอบกับ F อาจทำให้เราสรุปว่า จอห์นคือฆาตกร ถ้าเรารู้ข้อมูลเพิ่มเติมว่า G=จอห์นเป็นคนถนัดซ้าย และรอยมีดแทงเป็นของคนถนัดขวา ดังนั้น A ประกอบกับ B ประกอบกับ C ประกอบกับ D ประกอบกับ E ประกอบกับ F ประกอบกับ G อาจทำให้เราสรุปว่า จอห์นคือผู้บริสุทธิ์ ข้อสรุปของเราปะติดปะต่อขึ้นจากข้อเท็จจริงหลายประการ

ตรรกะการอนุมานแบบ เชอร์ล็อค โฮล์มส์ นี้ เป็นกฎเกณฑ์ในการเรียบเรียงข้อเท็จจริงต่างๆ เพื่อสร้างข้อสรุป เช่น ถ้าเหตุการณ์ A และ B ต้องเป็นจริงทั้งคู่เพื่อให้เหตุการณ์ C เป็นจริง แล้วเรารู้ว่าเหตุการณ์ A หรือ B เป็นเท็จ นั่นแปลว่า C ย่อมเป็นเท็จไปด้วย ถ้าเรารู้ว่าหิมะเกิดจากฝนและอุณหภูมิต่ำควบคู่กัน และตอนนี้อากาศร้อน ก็แสดงว่าหิมะจะไม่ตก นี่คือตรรกะ มีกฎเกณฑ์บางข้อในตรรกะแบบใช้ญัตติ ที่ใช้สร้างระบบการอนุมาน

มีระบบที่ตั้งอยู่บนตรรกะแบบใช้ญัตติ ที่มีอำนาจอธิบายครอบคลุมกว่ามาก ระบบคลาสสิกที่ใช้วิเคราะห์ตัวเลขธรรมชาติ (natural numbers) เป็นระบบหนึ่งที่ใช้การอนุมานและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ถ้าระบบนี้สมบูรณ์ ก็หมายความว่าทุกสิ่งทุกอย่างในจักรวาลที่เป็นสัจธรรม ต้องสามารถพิสูจน์ได้ และทุกสิ่งทุกอย่างที่เป็นความเท็จ ก็ต้องสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นเท็จด้วย เคิร์ท โกเดล รู้สึกว่าระบบนี้ไม่สมบูรณ์ เขาจึงใช้เวลาหลายปีในการค้นหาอะไรซักอย่างที่อยู่ภายใต้กฎของคณิตศาสตร์ แต่อยู่นอกเหนือตรรกะ โกเดลแสวงหาข้อพิสูจน์ (theorem) ที่อยู่ในทฤษฎีตัวเลขอันเคร่งครัด ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ลองพิจารณาข้อความต่อไปนี้: “ประโยคนี้เป็นเท็จ” (ซึ่งไม่มีนิยามที่ดีนัก แต่เป็นแค่ตัวอย่างหนึ่งเท่านั้น) ถ้า “ประโยคนี้เป็นเท็จ” เป็นเท็จ ก็แปลว่ามันเป็นเท็จซ้อนเท็จ ซึ่งก็แปลว่ามันเป็นจริง… แต่ถ้า “ประโยคนี้เป็นเท็จ” เป็นจริง เราก็แค่ต้องอ่านมันซ้ำอีกครั้ง เพื่อสรุปว่ามันเป็นเท็จ โกเดลคิดค้นวิธีเขียนประโยค p ที่แปลว่า “p ไม่สามารถพิสูจน์ได้” โดยใช้ตัวเลขและสมการคณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้มันเป็นสิ่งที่สามารถวิเคราะห์ได้โดยใช้ทฤษฎีตัวเลข แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ภายใต้ระบบดังกล่าว ในการนี้ โกเดลต้องแปลงไอเดียหลายๆ อย่างเป็นตัวเลข และเขียนบทพิสูจน์ที่ยาวมาก แต่ในที่สุด เขาก็สามารถพิสูจน์ว่าระบบนี้ไม่สมบูรณ์ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีสัจธรรมที่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นความจริง และความเท็จที่เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นความเท็จ ภายในระบบนั้นๆ

กฎความไม่สมบูรณ์ของโกเดลบอกว่า ภายใต้ทฤษฎีอะไรก็ตามที่สามารถใช้พิสูจน์ข้อเท็จจริงพิ้นฐานทางคณิตศาสตร์ได้ และมีเหตุผลสม่ำเสมอ (consistent logic) มันเป็นไปได้ที่จะสร้างประโยคในภาษาเลขที่เป็นความจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้หรือปฏิเสธได้ภายในกรอบของทฤษฎีนั้นๆ กฎของโกเดลไม่เพียงแต่อธิบายข้อขัดแย้งที่อ้างอิงตัวเอง (self-referential paradox) เท่านั้น แต่ลงลึกไปกว่านั้นโดยชี้ว่า เราไม่มีทางพิสูจน์ทฤษฎีที่สำคัญบางเรื่องได้

การตัดสินไม่ได้

อลัน ทูริ่ง คือหนึ่งในบิดาของวิชาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ เขาคิดค้นโมเดลที่อธิบายวิธีทำงานของคอมพิวเตอร์ ที่เป็นพื้นฐานของวิชา และแสดงให้เห็นว่าเครื่องคอมพิวเตอร์ต่างๆ เช่น เครื่องคิดเลขแบบพกพา กับเครื่องเล่นเกมนินเทนโดนั้น ล้วนทำงานวิธีเดียวกัน: พวกมันอ่านข้อมูล, เช็คตารางกฎเกณฑ์และหน่วยความจำ, และเขียนข้อมูลกลับมา

สิ่งที่เครื่องคิดเลข “อ่าน” คือตัวเลขที่กด ตารางกฎเกณฑ์ของมันคือวิธีบวกลบคูณหาร หน่วยความจำคือผลลัพธ์ที่คิดได้ และตัวเลขที่แสดงให้เราเห็นบนหน้าจอคือผลสุดท้าย ในเครื่องเล่นเกมนินเทนโด สิ่งที่อ่านคือสถานะของจอยสติ๊กหรือแป้นคอนโทรลเลอร์ ตารางกฎเกณฑ์คือกฎของเกมที่เรากำลังเล่น หน่วยความจำคือสถานะของเกม และข้อมูลที่เขียนกลับคือรูปภาพเคลื่อนไหวที่เราเห็นบนจอ แม้ว่าเราจะขยายหน่วยความจำให้ใหญ่มากๆ ได้ มันก็ต้องมีขีดจำกัด และพฤติกรรมของเครื่องเหล่านี้ย่อมขึ้นอยู่กับกฎเกณฑ์ที่มันปฏิบัติตามโดยไม่บิดพลิ้ว ดังนั้นโมเดลนี้จึงถูกขนานนามว่า “เครื่องทูริ่งแบบจำกัดและใช้กฎเกณฑ์” (finite deterministic Turing machine)

ทูริ่งเขียนโปรแกรมมากมาย และช่วยถอดรหัสลับให้ฝ่ายพันธมิตรระหว่างสงครามโลกครั้งที่สอง ไม่นานเขาสังเกตว่า มีโปรแกรมบางอันที่ “แฮงค์” และทำให้เครื่องทำงานไปเรื่อยๆ ไม่หยุดแต่ก็ไม่คืบหน้า ปัญหานี้มักเกิดเมื่อมีคนป้อนข้อมูลแปลกๆ เช่น เป็นไปได้ที่เราจะสร้างโปรแกรมเพื่อถอดรหัสลับที่เป็นตัวเลข ซึ่งแสดงพิกัดเป้าหมายของการโจมตี แต่ถ้าใครป้อนตัวอักษรเข้าไปแทนที่ตัวเลข โปรแกรมก็จะล้มเหลว เพราะมันไม่ได้ถูกสร้างมาเพื่อรับข้อมูลแบบนี้ แม้เราจะสามารถแก้ปัญหาง่ายๆ นี้ได้ด้วยการป้อนเฉพาะข้อมูลที่เป็นตัวเลขเท่านั้น เราอาจเจอปัญหาใหม่ เช่น ข้อมูลพิกัดไม่สอดคล้องกัน คือมันอาจแสดงตำแหน่งสถานที่ที่อยู่ทางทิศเหนือของขั้วโลกเหนือ ฯลฯ ทุกปัญหาที่เราแก้อาจก่อให้เกิดปัญหาใหม่ในโปรแกรม ไม่มีที่สิ้นสุด

ถ้าเราต้องการเขียนโปรแกรมที่ “สมบูรณ์แบบ” ไม่มีที่ติ ไม่เคยแฮงค์ วิธีหนึ่งคือลองป้อนข้อมูลทุกรูปแบบที่เราจะคิดออก แต่วิธีนี้ใช้ไม่ค่อยได้ เพราะข้อมูลเหล่านี้มีจำนวนมากเกินไป นอกจากนี้ก็ยังมีปัญหาที่ยุ่งยากกว่านื้คือ แม้โปรแกรมจะใช้เวลานานเพียงใด เราจะไม่มีวันรู้อย่างแน่นอนว่า มันกำลังคำนวณอยู่ หรือว่าแฮงค์ไปแล้ว ทูริ่งคิดว่าเราสามารถแก้ปัญหานี้ได้ด้วยการใช้โปรแกรมช่วยเหลือ เขาพยายามเขียน “ซุปเปอร์โปรแกรม” ที่จะสามารถวิเคราะห์และเช็คว่าโปรแกรมอีกอันทำงาน “ถูก” หรือไม่ ในแง่ว่ามันจะต้องจบการทำงาน ณ จุดใดจุดหนึ่ง ไม่ใช่ทำงานไปตลอดกาล หลังจากพยายามอยู่นาน ทูริ่งเริ่มสงสัยว่า มันเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนซุปเปอร์โปรแกรมแบบนี้ และในที่สุด เขาก็สามารถพิสูจน์ว่า โดยทั่วไปแล้ว มันเป็นไปไม่ได้ที่เราจะเช็คว่า โปรแกรมทั่วไปจะหยุดการทำงานหรือไม่ จริงอยู่ เราสามารถเขียนโปรแกรมพื้นๆ ให้เราเช็คได้ เช่น โปรแกรมที่มีคำสั่ง “หยุด” ในบรรทัดแรกของมัน แต่ไอเดียของทูริ่งคือ เราไม่สามารถสร้างเครื่องอะไรที่จะเช็คโปรแกรมทั่วๆ ไปได้

ปัญหาการหยุดของทูริ่ง เป็นหนึ่งในปัญหาประเภทที่เรียกรวมๆ ว่า ปัญหาการตัดสินไม่ได้ (undecidable problems) กฎการตัดสินไม่ได้บอกว่า เป็นไปไม่ได้ที่เราจะเขียนโปรแกรมขึ้นมาเพื่อเช็คอีกโปรแกรมหนึ่ง (ที่เราไม่รู้ล่วงหน้าว่าคืออะไร) ว่ามันทำงานถูกหรือไม่ ในแง่ว่ามันจะมีวันหยุดการทำงานหรือไม่ ปัญหานี้เป็นข้อจำกัดที่สำคัญในการสร้างโปรแกรมยืนยันความถูกต้อง (verification programs) ทั้งหลาย เพราะคอมพิวเตอร์ทั้งหมดที่เคยมีคนลองสร้างให้ใช้ได้จริงๆ และแตกต่างจากเครื่องทูริ่ง ตั้งแต่อดีตจนถึงปัจจุบัน ได้ถูกพิสูจน์แล้วว่า ไม่ต่างอะไรจากเครื่องทูริ่งเบื้องต้น ทั้งในแง่สมรรถนะ และข้อจำกัด มันเป็นไปไม่ได้ที่เราจะเขียน “ซุปเปอร์โปรแกรม” เพื่อเช็คโปรแกรมทั้งหมด เทคนิคการโปรแกรมสมัยใหม่เน้นการลดความน่าจะเป็นของกรณีโปรแกรมล่ม และพยายามให้การกอบกู้ข้อมูลเป็นไปอย่างราบรื่น และหลีกเลี่ยงกรณีข้อมูลสูญหาย แต่สำหรับโปรแกรมซับซ้อนต่างๆ เราไม่สามารถการันตีความถูกต้องได้

“จุดบอด”?

เราไม่ควรมองกฎพื้นฐานทั้งสี่ว่า เป็นข้อจำกัดของวิทยาศาสตร์ และกฎเหล่านี้ก็ไม่ได้แปลว่า สัจธรรมที่เป็นภววิสัย (objective reality) นั้น ไม่มีอยู่จริง กฎเหล่านี้เป็นเพียงข้อจำกัดในกระบวนการบางอย่าง เช่น การวัดตำแหน่ง หรือการใช้ตรรกะทางคณิตศาสตร์ ที่เราต้องคำนึงถึงหากจะเข้าใจปรากฏการณ์ธรรมชาติ

กฎเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันบางประการ กฎสัมพัทธภาพ และกฎความไม่แน่นอน มีรากฐานมาจากฟิสิกส์ และเกี่ยวเนื่องกับการสังเกตการณ์ ในขณะที่กฎความไม่สมบูรณ์ และกฎการตัดสินไม่ได้ มีรากฐานมาจากคณิตศาสตร์ และเกี่ยวเนื่องกับข้อจำกัดของกฎเกณฑ์ กฎความไม่แน่นอนและกฎการตัดสินไม่ได้ ควบคุมความสามารถในการทำนายอนาคตของเรา ในขณะที่กฎสัมพัทธภาพและกฎความไม่สมบูรณ์ เกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่า ตำแหน่งอ้างอิงเป็นสิ่งจำเป็น แต่มันก็ขัดขวางไม่ให้เราทำอะไรบางอย่าง แทนที่จะหาความสัมพันธ์ระหว่างกฎเหล่านี้ไปเรื่อยๆ ผมอยากยกตัวอย่างอีกหนึ่งเรื่อง

เส้นประสาทเรตินา ในลูกตาของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมทั้งหลาย บรรจบกันที่จุดๆ เดียวที่เรียกว่า ประสาทตา (optical nerve) ซึ่งส่งสัญญาณไปยังสมอง ดีไซน์แบบนี้มีข้อด้อยตรงที่ จุดที่เส้นประสาทมาบรรจบกันนั้น ไม่มีความไวต่อแสงเลย ทำให้เกิดเป็น “จุดบอด” หรือโซนในรัศมีการมองของเรา ที่เรามองไม่เห็นอะไรเลย ในขณะเดียวกัน มันก็เป็นเรื่องแปลกที่เรามองไม่เห็นโซนนี้ เพราะจุดบอดนี้มีขนาดเล็กมาก, สมองเราก็ “ชดเชย” ข้อด้อยนี้ด้วยการสร้างความต่อเนื่อง ไม่ให้เรามองเห็นแผ่นกลมๆ สีดำลอยอยู่ตรงหน้า, และจุดบอดของตาแต่ละข้างของเรา ไม่ได้อยู่ตรงบริเวณเดียวกัน เราสามารถใช้ความรู้ที่เรามีเกี่ยวกับจุดบอดนี้ ในการออกแบบสิ่งของบางอย่าง เช่น เครื่องมือบนเครื่องบิน แต่นอกเหนือจากนี้ การมีจุดบอด ไม่มีผลอะไรเลยต่อการใช้ชีวิตประจำวัน ของ 99.9% ของประชากรทั้งหมดบนโลก

กฎทั้งสี่ที่ผมพูดถึงนี้ก็เหมือนกัน แน่นอน มันจำกัดการสังเกตและการใช้กฎเกณฑ์ของเรา แต่มันไม่ได้แปลว่า เราไม่สามารถสังเกตการณ์อะไร หรือคิดค้นกฎเกณฑ์ในคณิตศาสตร์ใดๆ ได้ แม้กฎสัมพัทธภาพจะเป็นความจริง ถ้าเราถูกตำรวจจับเพราะขับรถเร็ว 80 ไมล์ต่อชั่วโมง ในโซนที่ให้ขับไม่เกิน 65 ไมล์ต่อชั่วโมง เราก็ต้องเสียค่าปรับ แม้ว่าจริงๆ แล้วรถเราอยู่กับที่ในมุมมองของคนขับ เพราะเราได้ตกลงใช้ตำแหน่งอ้างอิงของตำรวจ แม้กฎความไม่แน่นอนจะเป็นจริง เราก็ยังเล่นเบสบอลได้ เพราะความไม่แน่นอนเรื่องตำแหน่งของวัตถุที่ใหญ่เท่าลูกเบสบอล มีค่าน้อยกว่าสิ่งที่เราสามารถมองเห็นด้วยตาเปล่ามาก แม้ระบบการอนุมานต่างๆ จะไม่สมบูรณ์ ความไม่สมบูรณ์นั้นไม่เป็นปัญหาสำหรับนักคณิตศาสตร์ทั้งหลาย ทุกปีเราจะเห็นข้อพิสูจน์อันซับซ้อน ตีพิมพ์โดยปราศจากปัญหาใดๆ แม้กฎการตัดสินไม่ได้จะเป็นจริง เราก็มีโปรแกรมที่มีประสิทธิภาพสูงหลายๆ โปรแกรม ที่ใช้ควบคุมระบบต่างๆ ที่ล้มเหลวน้อยมาก และข้อผิดพลาดส่วนใหญ่ไม่ได้เกิดจากเงื่อนไขการหยุดของโปรแกรม แต่เกิดจากความผิดพลาดง่ายๆ ในการเขียนโปรแกรม

กฎของเกมในวิทยาศาสตร์นั้น มีกฎสัมพัทธภาพ กฎความไม่แน่นอน กฎความไม่สมบูรณ์ และกฎการตัดสินไม่ได้ เป็นหัวใจสำคัญ จากมุมมองของวิทยาศาสตร์ ความเข้าใจในกฎเหล่านี้สามารถนำพาเราไปสู่การค้นพบใหม่ๆ ว่าจักรวาลทำงานอย่างไร เมื่อมองผ่าน “จุดบอด” เหล่านี้ เราจะสามารถเข้าถึงสัจธรรมแห่งธรรมชาติ.